Nếu con người chưa từng tồn tại, liệu con số 4 có tồn tại không? Liệu phương trình 2+2=4 có tồn tại không? Và tại sao một hệ thống do con người xây dựng lại có thể dự đoán chính xác nhiều hiện tượng của vũ trụ?

Đây không chỉ là câu hỏi về Toán học. Đây là câu hỏi về mối quan hệ giữa thế giới khách quan, tư duy và ngôn ngữ.

Tôi cho rằng: Toán học có thể được hiểu là một ngôn ngữ hình thức cùng hệ thống định nghĩa và quy tắc suy luận do trí tuệ phát triển để biểu diễn các quan hệ, cấu trúc và quy luật. Những quan hệ trong thế giới khách quan có thể tồn tại mà không cần con người nhận biết chúng, nhưng điều đó không tự động chứng minh rằng các con số hay cấu trúc toán học cũng tồn tại như những thực thể độc lập với mọi trí tuệ.

Để tránh hiểu lầm, tôi không phủ nhận tính chính xác của Toán học, cũng không phủ nhận các quy luật khách quan của tự nhiên. Điều tôi phản biện là bước suy luận từ “Toán học chính xác và hữu ích” sang “các thực thể toán học phải tồn tại độc lập với con người”.

Chúng ta hãy phân tích vấn đề từ những điều đơn giản nhất đến những lập luận chuyên sâu.

⸻

1. Trước hết, cần phân biệt thế giới khách quan với ngôn ngữ mô tả thế giới

Hãy tưởng tượng có bốn hòn đá nằm trên mặt đất.

Ngay cả khi không có con người, bốn hòn đá ấy vẫn có thể tồn tại. Chúng có khối lượng, kích thước, vị trí, nhiệt độ, thành phần hóa học và vô số thuộc tính khác.

Nếu không có con người, những hòn đá không biến mất. Những quan hệ vật lý giữa chúng cũng không nhất thiết biến mất.

Nhưng hãy chú ý: sự tồn tại của bốn hòn đá không đồng nghĩa với việc có một thực thể trừu tượng mang tên “số 4” đang tồn tại ở đâu đó trong vũ trụ.

Con người quan sát một nhóm vật thể, xác định tiêu chí để xem chúng là những đơn vị riêng biệt, rồi dùng ký hiệu “4” để biểu diễn số lượng của nhóm đó.

Trong tiếng Việt, ta gọi là “bốn”.

Trong tiếng Anh, ta gọi là “four”.

Trong tiếng Pháp, ta gọi là “quatre”.

Trong hệ chữ số La Mã, ta viết “IV”.

Trong hệ thập phân hiện đại, ta viết “4”.

Các ký hiệu và cách phát âm khác nhau, nhưng chúng có thể cùng biểu diễn một quan hệ về số lượng.

Điều này cho thấy cần phân biệt ít nhất ba thứ:

• Đối tượng khách quan: những hòn đá đang tồn tại.
• Khái niệm: cách trí tuệ phân loại, đếm và trừu tượng hóa số lượng.
• Ký hiệu: chữ số “4” dùng để biểu diễn khái niệm đó.

Đối tượng không phải là ký hiệu mô tả đối tượng. Tương tự, bản đồ không phải lãnh thổ, tên gọi không phải vật được gọi tên, và phương trình không phải bản thân hiện tượng vật lý.

Nếu ai đó nói rằng các hòn đá tồn tại khách quan, điều đó không có gì phải tranh cãi. Nhưng nếu họ tiếp tục kết luận rằng vì có bốn hòn đá nên thực thể trừu tượng “số 4” cũng phải tồn tại độc lập với trí tuệ, họ đã đưa thêm một giả định triết học mà chưa chứng minh.

2. “2 + 2 = 4” có phải là bằng chứng rằng Toán học tồn tại độc lập với con người?

Hãy xét phương trình nổi tiếng:

2+2=4

Phương trình này chính xác. Nhưng sự chính xác đó đến từ đâu?

Trước hết, con người xây dựng các khái niệm về đơn vị, số lượng, phép cộng và những quy tắc liên quan. Sau đó, trong một hệ thống số học thông thường, các quy tắc ấy xác định kết quả của phép tính.

Ví dụ, ta có hai viên bi trong tay trái và hai viên bi trong tay phải. Nếu gộp chúng lại, đồng thời giữ nguyên tiêu chí mỗi viên bi được tính là một đơn vị và không có viên nào bị thêm vào hoặc mất đi, ta có bốn viên bi.

Có hai tầng cần phân biệt:

Tầng thứ nhất: quan hệ trong thế giới thực.

Ta quan sát việc gộp hai nhóm vật thể rời nhau và nhận thấy số lượng tổng hợp bằng tổng số lượng của hai nhóm, với những điều kiện đếm phù hợp.

Tầng thứ hai: biểu diễn hình thức.

Ta dùng ký hiệu “2 + 2 = 4” để diễn đạt quan hệ đó trong hệ thống số học.

Phương trình không cần một người ngồi tính thì những viên bi mới được gộp lại. Nhưng việc các viên bi được gộp lại cũng không chứng minh rằng ký hiệu “2”, dấu “+” và ký hiệu “4” phải tồn tại như những thực thể trừu tượng trong một thế giới riêng.

Một ví dụ khác: hai nhóm gồm hai người, khi gộp lại mà không có người nào xuất hiện ở cả hai nhóm, sẽ có bốn người.

Nhưng nếu hai nhóm có người trùng nhau thì kết quả đếm số người duy nhất có thể khác.

Điều đó không làm Toán học sai. Nó cho thấy muốn áp dụng một phép tính chính xác vào thế giới, ta phải xác định đúng đối tượng, đơn vị và điều kiện áp dụng.

Toán học có thể chính xác trong hệ thống hình thức, nhưng việc mô hình có mô tả đúng hiện thực hay không còn phụ thuộc vào cách ta xây dựng mô hình và dữ liệu đầu vào.

3. “Số 1 hoàn hảo, nên 4 là bốn lần hoàn hảo của 1” có chứng minh được sự tồn tại độc lập của các con số không?

Có người cho rằng Toán học tính chính xác vì số 1 là một đơn vị hoàn hảo, số 4 là bốn lần đơn vị đó. Nếu không có những con số hoàn hảo, phép tính không thể chính xác.

Lập luận này có vẻ hợp lý, nhưng cần làm rõ chữ “hoàn hảo” đang có nghĩa gì.

Trong số học, số 1 được xác định là đơn vị của phép nhân:

1\times 4=4

Đây là một quan hệ chính xác trong hệ thống số học thông thường.

Tuy nhiên, số 1 không phải một vật thể vật lý hoàn hảo được lấy ra từ tự nhiên rồi đem nhân lên bốn lần. Nó là một khái niệm được xác định trong hệ thống.

Một mét là một đơn vị đo chiều dài. Bốn mét bằng bốn lần một mét theo định nghĩa của phép đo. Nhưng một vật thể có chiều dài bốn mét trong thực tế không thể được đo với độ chính xác tuyệt đối bằng mọi thiết bị, trong mọi điều kiện.

Ta phải phân biệt:

• Độ chính xác của định nghĩa: một đơn vị được quy ước và xác định như thế nào.
• Độ chính xác của phép suy luận: kết quả có tuân thủ các quy tắc hay không.
• Độ chính xác của phép đo: dữ liệu thực nghiệm gần với giá trị được mô tả đến mức nào.

Ví dụ, nếu máy đo cho kết quả 3,999 mét, ta không thể chỉ dựa vào phương trình toán học để kết luận rằng vật thể có chiều dài đúng tuyệt đối là 4 mét.

Ngược lại, nếu hai nhóm có lần lượt hai và hai đơn vị theo một tiêu chí đếm nhất quán, kết quả số học vẫn là bốn, bất kể các đơn vị vật lý ấy có hoàn toàn giống nhau về khối lượng, hình dạng, nhiệt độ hay thành phần hóa học hay không.

Toán học chính xác vì các khái niệm và quy tắc trong hệ thống được xác định đủ chặt chẽ để suy luận. Điều đó không tự động chứng minh rằng những khái niệm ấy tồn tại độc lập như các vật thể hoàn hảo trong tự nhiên.

4. Có tồn tại một “số 2 hoàn hảo” trong tự nhiên không?

Câu hỏi này cần được hiểu chính xác.

Nếu hỏi liệu có một thực thể trừu tượng mang tên “số 2” tồn tại trong tự nhiên như một hòn đá, một electron hay một hành tinh hay không, thì ta chưa có bằng chứng thực nghiệm nào cho thấy số 2 là một vật thể vật lý như vậy.

Nếu hỏi liệu tự nhiên có thể chứa hai vật thể, hai sự kiện hay hai hạt hay không, thì câu trả lời hiển nhiên là có.

Nhưng hãy nhìn kỹ hơn.

Hai quả táo không hoàn toàn giống nhau. Chúng có thể khác nhau về khối lượng, kích thước, độ chín, vị trí, cấu trúc phân tử và hàng tỷ thuộc tính khác.

Hai electron có cùng các giá trị của một số thuộc tính cơ bản theo mô hình vật lý hiện đại, nhưng chúng vẫn không phải hai vị trí không gian giống nhau hoặc hai sự kiện hoàn toàn đồng nhất về mọi quan hệ.

Vậy tại sao ta vẫn gọi chúng là “hai”?

Bởi vì để đếm, ta không cần mọi đối tượng giống nhau về tất cả thuộc tính. Ta chỉ cần xác định tiêu chí nào khiến chúng được tính là những đơn vị riêng biệt trong bài toán đang xét.

Khi đếm hai quả táo, ta quan tâm đến số quả táo, không phải sự giống nhau tuyệt đối giữa mọi nguyên tử của chúng.

Khi đếm hai chiếc xe, ta không cần hai chiếc xe có cùng màu sắc, khối lượng hay số sê-ri.

Nói cách khác, khái niệm số lượng là một sự trừu tượng hóa: ta bỏ qua nhiều thuộc tính không liên quan và giữ lại quan hệ cần thiết cho việc đếm.

Vì vậy, việc các đối tượng vật lý không hoàn toàn giống nhau không khiến phép đếm mất giá trị. Nhưng việc phép đếm có giá trị cũng không chứng minh rằng một “số 2 hoàn hảo” phải tồn tại như một thực thể vật lý độc lập.

Ta có thể đếm các đối tượng khách quan bằng một khái niệm trừu tượng mà không cần biến khái niệm đó thành một đối tượng vật lý.

5. Nếu Toán học là ngôn ngữ do con người xây dựng, tại sao nhiều người lại cho rằng Toán học không phải sản phẩm của con người?

Một phản biện thường gặp là:

“Nếu Toán học chỉ là ngôn ngữ do con người tạo ra, tại sao những nhà toán học sống ở những quốc gia khác nhau, không quen biết nhau, vẫn phải đi đến cùng một kết quả?”

Câu trả lời là: cùng tuân theo một hệ thống quy tắc không đồng nghĩa với việc hệ thống đó tồn tại độc lập với mọi trí tuệ.

Hãy lấy trò chơi cờ vua làm ví dụ.

Con người tạo ra bàn cờ, quân cờ và luật chơi. Sau khi luật chơi được xác định, hai người ở hai quốc gia khác nhau vẫn phải chấp nhận những nước đi hợp lệ giống nhau nếu họ chơi theo cùng một bộ luật.

Nếu một quân mã đang ở vị trí xác định, người chơi không thể tùy ý tuyên bố nó được đi như quân xe mà vẫn khẳng định mình đang tuân thủ luật cờ vua thông thường.

Kết quả của một nước đi được ràng buộc bởi luật chơi, chứ không phụ thuộc vào việc người chơi thích kết quả nào.

Điều này không chứng minh cờ vua là một thực thể tồn tại độc lập với mọi trí tuệ. Nó chỉ chứng minh rằng một hệ thống do con người xây dựng vẫn có thể tạo ra các kết quả khách quan theo những quy tắc đã được xác định.

Toán học phức tạp hơn cờ vua rất nhiều, nhưng điểm logic này vẫn có giá trị.

Khi hai nhà toán học cùng sử dụng một hệ tiên đề, định nghĩa và quy tắc suy luận, họ có thể kiểm tra xem một kết luận có được suy ra hợp lệ hay không. Nếu cả hai lập luận đúng và điều kiện giống nhau, việc họ đi đến cùng một kết quả là điều có thể giải thích bằng chính hệ thống chung đó.

Sự đồng thuận về kết quả là bằng chứng cho tính nhất quán và khả năng kiểm tra của hệ thống. Nó không tự động chứng minh rằng các đối tượng được hệ thống nói đến tồn tại như những thực thể độc lập với trí tuệ.

Tất nhiên, phép so sánh với cờ vua chỉ minh họa một điểm logic. Nó không có nghĩa mọi đặc điểm của Toán học đều giống trò chơi. Toán học còn có thể mô tả các quan hệ trong tự nhiên và tạo ra những dự đoán thực nghiệm có giá trị.

6. Nếu Toán học do con người tạo ra, tại sao nó lại mô tả vũ trụ chính xác đến kinh ngạc?

Đây là một trong những câu hỏi quan trọng nhất trong triết học Toán học.

Ta có thể bắt đầu từ lịch sử.

Con người đếm vật nuôi, đo đất, xây dựng công trình, quan sát mùa vụ, theo dõi thiên thể và tính toán chuyển động từ rất lâu trước khi có nhiều lý thuyết toán học hiện đại.

Những nhu cầu đó thúc đẩy sự phát triển của số học, hình học, đại số, giải tích và nhiều lĩnh vực khác.

Trong quá trình ấy, con người không chỉ tạo ra ký hiệu. Họ còn quan sát các hiện tượng, nhận ra những quan hệ lặp lại, hình thành mô hình, kiểm tra kết quả và sửa đổi phương pháp khi chúng không còn phù hợp.

Ví dụ, nếu muốn dự đoán vị trí của một vật đang chuyển động, ta có thể đo vị trí tại các thời điểm khác nhau, xây dựng một mô hình chuyển động, rồi dùng mô hình để dự đoán vị trí tiếp theo.

Nếu dự đoán khớp với quan sát trong những điều kiện xác định, mô hình có thêm bằng chứng ủng hộ.

Nếu dự đoán sai, ta phải kiểm tra giả định, dữ liệu, phép đo hoặc cấu trúc mô hình.

Đây không phải điều kỳ bí. Đó là một quá trình tích lũy tri thức: quan sát, trừu tượng hóa, xây dựng mô hình, suy luận, thử nghiệm và hiệu chỉnh.

Có thể diễn đạt bằng sơ đồ:

Quan sát thế giới → nhận diện quan hệ → xây dựng khái niệm và mô hình → suy luận → dự đoán → đối chiếu với thực tế → điều chỉnh.

Quá trình này giải thích một phần quan trọng vì sao Toán học có thể hữu ích đối với khoa học.

Tuy nhiên, cần nói chính xác: không phải mọi lĩnh vực Toán học đều được tạo ra trực tiếp từ quan sát vật lý. Nhiều cấu trúc toán học được phát triển vì tính nhất quán, sự tò mò hoặc những câu hỏi nội tại của hệ thống. Chúng có thể chưa có ứng dụng thực tế, hoặc chưa tìm thấy ứng dụng.

Điểm cần nhấn mạnh là: khi một mô hình toán học dự đoán đúng một hiện tượng, điều đó chứng minh giá trị của mô hình trong phạm vi được kiểm nghiệm; nó chưa đủ để chứng minh mọi đối tượng toán học đều tồn tại độc lập với con người.

7. “Toán học dự đoán được những điều chưa từng quan sát. Điều đó chứng minh nó không phải sản phẩm của con người!”

Đây là một phản biện mạnh hơn và cần được xem xét nghiêm túc.

Ví dụ, một nhà khoa học xây dựng mô hình toán học dựa trên các lý thuyết hiện có. Từ mô hình ấy, họ suy ra một hệ quả chưa được quan sát trực tiếp. Sau đó, thí nghiệm phát hiện hiện tượng phù hợp với dự đoán.

Điều đó thực sự có ý nghĩa khoa học.

Nhưng ta cần phân biệt hai mệnh đề:

Mệnh đề A: Một cấu trúc toán học có thể giúp dự đoán những đặc điểm của thế giới mà con người chưa biết.

Mệnh đề B: Vì cấu trúc ấy dự đoán đúng, nên cấu trúc toán học đó phải tồn tại độc lập với mọi trí tuệ.

Mệnh đề A không tự động kéo theo mệnh đề B.

Từ việc một bản đồ giúp tìm ra con đường chưa từng đi, ta có lý do tin rằng bản đồ nắm bắt được những quan hệ không gian hữu ích. Nhưng ta không thể chỉ từ đó kết luận rằng các đường nét và ký hiệu trên bản đồ tồn tại độc lập với người tạo ra bản đồ.

Tương tự, một mô hình toán học có thể nắm bắt được những quan hệ khách quan và giúp suy ra hệ quả chưa biết. Sức mạnh dự đoán của nó là điều đáng kinh ngạc, nhưng bản thân sức mạnh đó chưa giải quyết dứt điểm câu hỏi về sự tồn tại độc lập của các đối tượng toán học.

Cũng cần tránh một kết luận ngược lại quá mạnh: không thể chỉ vì Toán học có nguồn gốc lịch sử từ hoạt động của con người mà khẳng định mọi thành công của nó chỉ là may mắn.

Thành công ấy có thể phản ánh những quan hệ thật sự trong tự nhiên, những đặc điểm cấu trúc chung giữa các hệ thống và sức mạnh của suy luận hình thức.

Ta có thể thừa nhận Toán học nắm bắt được những quan hệ khách quan mà không cần lập tức chấp nhận rằng mọi đối tượng toán học đều là những thực thể độc lập.

Đây là điểm cần tranh luận, chứ không phải điều có thể giải quyết bằng một khẩu hiệu.

8. Nếu có vô số cấu trúc toán học trừu tượng, tại sao chỉ một số cấu trúc lại hữu ích cho thế giới vật lý?

Toán học có nhiều hệ thống và cấu trúc khác nhau.

Một số có ứng dụng rõ ràng trong cơ học, điện từ học, thống kê, kinh tế, tin học hoặc sinh học. Một số khác chủ yếu được nghiên cứu vì những câu hỏi nội tại của chúng. Có những cấu trúc ban đầu trừu tượng nhưng về sau lại tìm được ứng dụng.

Điều này dẫn đến một câu hỏi: tại sao một cấu trúc phù hợp với một bài toán vật lý, còn cấu trúc khác thì không?

Câu trả lời phụ thuộc vào quan hệ giữa cấu trúc đó với hiện tượng đang được mô tả.

Một mô hình chỉ hữu ích khi các giả định và quan hệ của nó phù hợp đủ tốt với hệ thống thực tế, trong phạm vi áp dụng xác định.

Ví dụ, mô hình vật lý đơn giản có thể dự đoán chuyển động của một vật trong những điều kiện nhất định. Nhưng nếu bỏ qua lực cản không khí trong tình huống mà lực cản có ảnh hưởng lớn, kết quả có thể không phù hợp với quan sát.

Một hệ thống toán học có thể hoàn toàn nhất quán về mặt hình thức nhưng không phải mô hình thích hợp cho một hiện tượng cụ thể.

Đây là sự phân biệt rất quan trọng:

• Tính nhất quán hình thức: hệ thống có những quy tắc và quan hệ suy luận như thế nào.
• Tính phù hợp thực nghiệm: mô hình có khớp với dữ liệu quan sát hay không.
• Khả năng dự đoán: mô hình có suy ra được những kết quả mới đáng tin cậy trong phạm vi áp dụng hay không.

Ba đặc điểm này liên quan với nhau nhưng không đồng nhất.

Một mô hình có thể nhất quán mà không mô tả một hiện tượng vật lý cụ thể. Một mô hình có thể phù hợp với dữ liệu cũ nhưng dự đoán kém trong điều kiện mới. Và một mô hình có khả năng dự đoán cao vẫn có thể chỉ là một mô hình gần đúng, chưa phải mô tả cuối cùng của tự nhiên.

Vì thế, sự tồn tại của nhiều cấu trúc toán học trừu tượng không đồng nghĩa rằng tất cả chúng đều phải có vật thể tương ứng trong vũ trụ.

9. “Vô cực”, “số âm”, “căn bậc hai của số âm” có tồn tại trong tự nhiên không?

Đây là ví dụ tốt để phân biệt khái niệm toán học với đối tượng vật lý.

Vô cực

Trong Toán học, vô cực xuất hiện trong nhiều khái niệm như giới hạn, tập hợp vô hạn và các cấu trúc liên quan.

Nhưng vô cực không phải lúc nào cũng được xem như một số thực thông thường. Chẳng hạn, khi viết

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0

ta đang diễn đạt rằng khi n tăng không giới hạn trong phạm vi xét, giá trị 1/n tiến gần đến 0.

Ký hiệu này không có nghĩa ta đã tìm thấy một vật thể vật lý tên là “vô cực”.

Trong vật lý, một đại lượng tiến đến vô hạn trong một mô hình có thể báo hiệu một giới hạn của mô hình, một lý tưởng hóa hoặc một vấn đề cần lý thuyết tốt hơn. Không thể chỉ từ ký hiệu vô cực mà kết luận vũ trụ thực sự chứa một giá trị vật lý vô hạn theo nghĩa tương ứng.

Số âm

Số âm có vai trò quan trọng trong việc biểu diễn các đại lượng có hướng hoặc các quan hệ tương đối.

Ví dụ, nhiệt độ -5^\circ C có ý nghĩa vì thang Celsius chọn một mốc quy ước. Độ cao -10 mét có thể biểu thị vị trí thấp hơn mốc tham chiếu 10 mét.

Nhưng dấu âm không phải một chất liệu đặc biệt nằm trong vật thể. Nó biểu diễn quan hệ giữa giá trị và mốc tham chiếu, theo quy ước của hệ thống.

Căn bậc hai của số âm

Trong tập số thực, phương trình

x^2=-1

không có nghiệm thực.

Trong hệ số phức, người ta định nghĩa đơn vị ảo i sao cho

i^2=-1

Đây là một mở rộng toán học có định nghĩa và quy tắc rõ ràng. Số phức không phải một trò bịa đặt vô nghĩa; chúng có ứng dụng thực tế trong điện tử, xử lý tín hiệu, cơ học lượng tử và nhiều lĩnh vực khác.

Tuy nhiên, việc số phức hữu ích trong một mô hình không có nghĩa mỗi số phức phải tương ứng với một vật thể riêng biệt ngoài tự nhiên.

Điều này minh họa luận điểm chính: con người có thể phát triển những khái niệm và hệ thống hình thức vượt xa những đối tượng có thể quan sát trực tiếp. Một số cấu trúc tìm được ứng dụng, một số chưa có ứng dụng rõ ràng, và không phải mọi khái niệm toán học đều phải được hiểu như một vật thể vật lý.

10. Toán học đã hoàn hảo ngay từ khi xuất hiện chưa?

Lịch sử Toán học cho thấy tri thức toán học của con người đã phát triển qua nhiều giai đoạn.

Các hệ thống ghi số, phương pháp tính toán, hình học, đại số, giải tích, xác suất và logic hình thức đều có lịch sử riêng. Nhiều khái niệm được mở rộng khi những phương pháp cũ không đủ để giải quyết các bài toán mới.

Ví dụ, các số âm từng không được chấp nhận hoặc được hiểu khác nhau trong một số truyền thống toán học. Số phức cũng trải qua quá trình phát triển trước khi được chấp nhận rộng rãi và đặt vào một nền tảng lý thuyết chặt chẽ.

Hình học Euclid có vai trò nền tảng trong lịch sử, nhưng hình học phi Euclid cho thấy có thể xây dựng những hệ hình học khác nhau bằng cách thay đổi một số giả định.

Điều đó không có nghĩa mọi kết quả toán học cũ đều sai. Nhiều kết quả vẫn đúng trong phạm vi hệ thống và điều kiện ban đầu. Điều thay đổi là phạm vi khái niệm, cách xây dựng hệ thống và hiểu biết của con người về những gì có thể suy ra từ các giả định.

Một hệ thống toán học có thể rất chặt chẽ mà vẫn không phải là toàn bộ tri thức toán học có thể có.

Cũng cần phân biệt: lịch sử thay đổi của Toán học không tự nó chứng minh rằng các chân lý toán học chỉ tồn tại trong trí tuệ. Người theo chủ nghĩa Platon có thể cho rằng con người dần khám phá các chân lý đã tồn tại sẵn. Người theo chủ nghĩa kiến tạo hoặc quy ước có thể nhấn mạnh vai trò của hoạt động trí tuệ, định nghĩa và hệ thống hình thức.

Lịch sử cho ta thấy Toán học được phát triển và tái cấu trúc như thế nào; để kết luận bản thể luận cuối cùng của nó, ta vẫn cần lập luận triết học bổ sung.

11. Ngôn ngữ thông thường cũng có thể suy luận chính xác, vậy tại sao phải coi Toán học là một điều đặc biệt?

Hãy tưởng tượng một điều tra viên có đầy đủ dữ kiện đáng tin cậy:

• Camera ghi nhận một chiếc xe đi vào con đường lúc 10 giờ.
• Một nhân chứng độc lập xác nhận chiếc xe xuất hiện tại địa điểm đó.
• Dữ liệu khác cho thấy chiếc xe rời đi lúc 10 giờ 20 phút.
• Các thông tin về thời gian đã được đồng bộ và kiểm chứng.

Từ những dữ kiện này, điều tra viên có thể suy luận bằng ngôn ngữ thông thường để xác định những khả năng phù hợp với chứng cứ.

Nếu dữ kiện đúng, đầy đủ trong phạm vi câu hỏi và các bước suy luận hợp lệ, kết luận bằng ngôn ngữ thông thường vẫn có thể rất chính xác.

Tất nhiên, dữ liệu thực tế thường có sai số, nhân chứng có thể nhầm lẫn và những giả định chưa được kiểm tra có thể dẫn đến kết luận sai. Nhưng các vấn đề này cũng tồn tại khi dùng Toán học để phân tích dữ liệu.

Điểm khác biệt là Toán học có những lợi thế đặc biệt:

• Ký hiệu được chuẩn hóa chặt chẽ hơn trong nhiều tình huống.
• Quan hệ định lượng có thể được biểu diễn ngắn gọn.
• Một số bước suy luận có thể được kiểm tra bằng các quy tắc hình thức.
• Phương trình giúp ta thấy rõ các biến và quan hệ mà văn xuôi dài dòng khó thể hiện.
• Máy tính có thể thực hiện những phép tính phức tạp với tốc độ và độ lặp lại cao.

Ví dụ, thay vì mô tả dài dòng rằng quãng đường bằng tốc độ nhân thời gian trong một mô hình chuyển động đều, ta có thể viết:

s=vt

Nếu v=60 km/h và t=2 giờ, ta suy ra s=120 km theo mô hình ấy.

Nhưng phương trình không tự xác nhận rằng chiếc xe thực sự chạy đều 60 km/h trong suốt hai giờ. Điều đó vẫn cần dữ liệu và giả định phù hợp.

Vì vậy, không nên nói Toán học chỉ là một thứ ngôn ngữ bình thường không có ưu thế gì. Chính xác hơn, Toán học là một hệ thống ngôn ngữ hình thức đặc biệt mạnh trong việc biểu diễn định lượng và suy luận theo quy tắc. Sức mạnh ấy không buộc ta phải xem nó như một thực thể độc lập với mọi trí tuệ.

12. Lập luận “Toán học là ngôn ngữ” có mâu thuẫn với việc Toán học khám phá ra những điều con người chưa biết không?

Không nhất thiết.

Ngôn ngữ không chỉ dùng để kể lại những điều đã biết. Nó còn cho phép con người diễn đạt giả thuyết, kết nối các dữ kiện, xây dựng những mô hình phức tạp và suy ra hệ quả chưa từng được kiểm tra.

Ví dụ, từ những dữ kiện về một người, một điều tra viên có thể suy ra một khả năng chưa từng được ai trực tiếp quan sát. Sau đó, khả năng ấy được kiểm tra bằng chứng cứ mới.

Tương tự, từ một hệ thống định nghĩa và các kết quả đã được chứng minh, nhà toán học có thể suy ra một định lý mà trước đó chưa ai biết.

Việc kết quả chưa được biết đến không có nghĩa mọi thành phần của hệ thống phải tồn tại như những vật thể độc lập với người suy luận.

Khi một định lý mới được chứng minh, có thể nói nhà toán học đã khám phá một hệ quả của các giả định và quy tắc đang dùng. Nhưng từ đó có thể diễn giải theo nhiều cách triết học: người Platon có thể nói định lý đã tồn tại như một chân lý trừu tượng; người theo quan điểm kiến tạo có thể nhấn mạnh quá trình xây dựng chứng minh trong hệ thống.

Bản thân sự mới lạ của kết quả chưa đủ để phân xử giữa các quan điểm ấy.

Điều quan trọng là không đánh đồng hai việc:

1. Một kết quả chưa được con người biết đến.
2. Một kết quả tồn tại độc lập với mọi trí tuệ theo nghĩa bản thể học.

Hai điều này không giống nhau.

13. Phản biện sâu hơn: nếu Toán học là sản phẩm của con người, liệu con người có thể tùy ý quyết định kết quả không?

Không.

Đây là chỗ cần phân biệt giữa tạo ra quy tắc và tùy ý thay đổi hệ quả của quy tắc.

Con người có thể lựa chọn định nghĩa, ký hiệu, tiên đề và cấu trúc hình thức để nghiên cứu. Nhưng sau khi một hệ thống được xác định, không phải kết quả nào con người thích cũng có thể được tuyên bố là đúng trong hệ thống ấy.

Ví dụ, trong số học thông thường, nếu ta giữ nguyên định nghĩa phép cộng và các quy tắc liên quan thì:

2+2=4

Ta không thể tùy ý tuyên bố kết quả bằng 5 mà vẫn giữ nguyên toàn bộ hệ thống và khẳng định phép suy luận không có gì thay đổi.

Tuy nhiên, khi thay đổi cấu trúc hoặc định nghĩa, một số kết quả có thể thay đổi ý nghĩa.

Chẳng hạn, trong số học modulo 3:

[
2+2\equiv1\pmod3
]

Điều này không mâu thuẫn với 2+2=4 trong số học thông thường. Hai biểu thức đang được diễn giải trong những hệ thống khác nhau.

Ví dụ này cho thấy tính chính xác của Toán học không phải là sự tùy tiện. Nó đến từ những định nghĩa và quy tắc được xác định đủ rõ để phân biệt kết quả hợp lệ với kết quả không hợp lệ.

Nhưng chính điều đó cũng cho thấy vì sao sự chính xác không tự động chứng minh một hệ thống là thực thể độc lập với trí tuệ: một hệ thống có thể ràng buộc người sử dụng bằng những quy tắc mà họ đã xác định, hoặc chấp nhận nghiên cứu.

14. Một lập luận high-resolution: sự tồn tại của quy luật khách quan có bắt buộc sự tồn tại của đối tượng toán học không?

Đây là điểm cốt lõi của toàn bộ cuộc tranh luận.

Giả sử vũ trụ có những quan hệ khách quan mà con người chưa biết đến. Chẳng hạn, các hiện tượng vật lý có thể tuân theo những quy luật nhất định dù không ai quan sát chúng.

Tôi không cần phủ nhận điều đó.

Nhưng từ đây phải phân biệt ba cấp độ:

Cấp độ 1 — Hiện thực: có những đối tượng, sự kiện và quan hệ tồn tại độc lập với việc con người có nhận biết chúng hay không.

Cấp độ 2 — Mô hình: con người xây dựng khái niệm, ký hiệu và hệ thống để biểu diễn một phần các quan hệ ấy.

Cấp độ 3 — Bản thể luận toán học: câu hỏi liệu các số, tập hợp và cấu trúc toán học có tồn tại độc lập với trí tuệ hay không.

Cấp độ 1 không gây ra tranh cãi lớn đối với người chấp nhận chủ nghĩa hiện thực khoa học. Cấp độ 2 mô tả một phần quá trình làm khoa học. Nhưng để đi từ cấp độ 1 và cấp độ 2 sang kết luận ở cấp độ 3, ta cần thêm lập luận.

Ví dụ, một mô hình có thể mô tả chính xác quan hệ giữa các đại lượng vật lý. Điều đó cho ta lý do tin rằng mô hình nắm bắt được một số cấu trúc của thế giới. Nhưng nó chưa quyết định liệu cấu trúc toán học được dùng để biểu diễn có tồn tại độc lập như một thực thể trừu tượng hay không.

Người theo chủ nghĩa Platon có thể cho rằng cấu trúc toán học là khách quan và được khám phá. Người theo chủ nghĩa hình thức có thể nhấn mạnh các hệ thống ký hiệu và quy tắc. Người theo chủ nghĩa kiến tạo có thể nhấn mạnh vai trò của việc xây dựng khái niệm và chứng minh. Những quan điểm này có khác biệt thật sự, và không nên giả vờ rằng chỉ một ví dụ về phép cộng có thể giải quyết tất cả.

Lập trường tôi đang bảo vệ là: không cần giả định sự tồn tại độc lập của các đối tượng toán học mới có thể giải thích vì sao một hệ thống hình thức chính xác, được xây dựng và kiểm tra cẩn thận, có thể mô tả những quan hệ khách quan.

Đây là một lập trường triết học có thể bảo vệ bằng lập luận. Nó không phải một định lý toán học đã chứng minh rằng mọi dạng chủ nghĩa Platon đều sai.

15. Vậy rốt cuộc, Toán học là ngôn ngữ hay là sự khám phá?

Có thể câu trả lời chính xác nhất là: cần làm rõ ta đang nói về khía cạnh nào.

Nếu nói về ký hiệu, định nghĩa, cách biểu diễn và các hệ thống hình thức mà con người phát triển, Toán học có tính chất của một ngôn ngữ hình thức.

Nếu nói về quá trình tìm ra hệ quả từ những định nghĩa và quy tắc đã cho, Toán học cũng là hoạt động suy luận và khám phá.

Nếu nói về việc mô tả thế giới, Toán học là một công cụ biểu diễn và mô hình hóa những quan hệ được cho là có thật, sau đó cần được đối chiếu với bằng chứng khi dùng trong khoa học thực nghiệm.

Nếu nói về việc các đối tượng toán học có tồn tại độc lập với mọi trí tuệ hay không, đó là một câu hỏi bản thể luận riêng. Nó không thể được quyết định chỉ bằng cách chỉ ra rằng phép tính chính xác hoặc mô hình toán học có khả năng dự đoán tốt.

Tôi không cho rằng cần phủ nhận tính khách quan của thế giới để bảo vệ quan điểm Toán học là ngôn ngữ. Ngược lại, tôi phân biệt thế giới khách quan với hệ thống mà con người dùng để nhận thức và diễn đạt thế giới ấy.

Một mô hình tốt không phải vì con người muốn nó đúng mà nó đúng. Nó có giá trị vì các giả định, suy luận và dự đoán của nó phù hợp với đối tượng đang nghiên cứu.

Nhưng một mô hình mô tả đúng hiện thực không đồng nghĩa với việc mọi ký hiệu và khái niệm trong mô hình đều tồn tại như những thực thể độc lập bên ngoài mô hình.

⸻

KẾT LUẬN

Tôi không phủ nhận Toán học chính xác. Tôi cũng không phủ nhận thế giới có những quan hệ khách quan, những quy luật mà con người chỉ có thể dần dần khám phá.

Điều tôi phản đối là việc lấy tính chính xác, tính nhất quán hoặc khả năng dự đoán của Toán học làm bằng chứng quyết định rằng các con số và cấu trúc toán học phải tồn tại độc lập với trí tuệ.

Hãy nhớ những điểm sau:

1. Vật thể tồn tại không đồng nghĩa với khái niệm dùng để đếm vật thể phải tồn tại như một vật thể khác.
2. Một phép tính chính xác không tự động chứng minh các con số là những thực thể độc lập với con người.
3. Các nhà toán học đi đến cùng kết quả khi tuân theo cùng quy tắc không có nghĩa hệ thống quy tắc ấy nhất thiết tồn tại độc lập với mọi trí tuệ.
4. Một mô hình toán học dự đoán đúng có thể phản ánh những quan hệ khách quan, nhưng thành công thực nghiệm không tự động giải quyết câu hỏi bản thể luận về sự tồn tại của các đối tượng toán học.
5. Toán học có lịch sử phát triển, mở rộng và tái cấu trúc; tính chặt chẽ của một hệ thống không có nghĩa toàn bộ Toán học đã là một hệ thống hoàn chỉnh bất biến ngay từ đầu.
6. Ngôn ngữ thông thường cũng có thể tạo ra suy luận chính xác khi dữ kiện đủ tốt và quy tắc suy luận hợp lệ; ưu thế của Toán học nằm ở khả năng hình thức hóa, biểu diễn định lượng và kiểm tra suy luận, chứ không phải ở việc nó bắt buộc phải là một thế giới thực thể trừu tượng.

Tóm lại, quan điểm của tôi là:

Thế giới khách quan có thể tồn tại độc lập với con người. Những quan hệ trong thế giới ấy có thể khách quan. Nhưng Toán học là hệ thống khái niệm, ký hiệu và quy tắc mà trí tuệ phát triển để biểu diễn, nghiên cứu và suy luận về các quan hệ đó. Việc hệ thống này có sức mạnh phi thường không tự động chứng minh rằng các đối tượng toán học tồn tại độc lập với mọi trí tuệ.

Nếu ai đó muốn bảo vệ quan điểm rằng số 2, số 4 hay các cấu trúc toán học tồn tại độc lập với con người, họ cần đưa ra lập luận riêng cho sự tồn tại ấy. Chỉ nói “Toán học chính xác”, “mọi người đều tính ra cùng kết quả” hoặc “Toán học dự đoán được tự nhiên” vẫn chưa đủ để chứng minh kết luận đó.

Đừng nhầm lẫn giữa thế giới được mô tả và ngôn ngữ dùng để mô tả thế giới. Đừng nhầm lẫn giữa tính chính xác của một hệ thống và sự tồn tại độc lập của mọi khái niệm trong hệ thống ấy. Và đừng biến một giả thuyết triết học thành sự thật đã được chứng minh chỉ vì nó nghe có vẻ hợp lý.

Lựu Hoàng Điệp